Spektraalteorie in geordende Banach-algebras

Teen om en by 1900 is daar ontdek dat die spektrum van ’n vierkantige matriks met positiewe inskrywings oor sekere spesiale kenmerke beskik. Dít het oor die volgende aantal dekades gelei tot die algemener ontwikkeling van spektraalteorie van positiewe operatore op Banach-roosters, oftewel die Perron-Frobeniusteorie. Hierdie teorie het in ’n belangrike gebied van moderne operatorteorie ontwikkel en het heelwat teoretiese en praktiese toepassings. Die selfs algemener idee van ’n positiewe element van ’n geordende Banach-algebra (GBA) is egter eers in die 1990’s gevestig in die tyd toe Sonja Mouton haar PhD onder leiding van Heinrich Raubenheimer voltooi het. In die drie dekades sedertdien het Sonja en haar medewerkers, sowel as ander navorsers wêreldwyd, voortgegaan om ’n aantal verskillende aspekte van spektraalteorie in GBA’s te ondersoek. Die resultate toon dat die toepassing van Banach-algebrategnieke in geordende (Banach-algebra)strukture nuwe insig in die Perron-Frobeniusteorie bied.

Die belangrikste vraag in die spektraalteorie van Banach-algebras het betrekking op eienskappe soos kontinuïteit van die spektrum- en spektraalradiusfunksies. Daar is reeds in 1951 aangetoon dat hoewel hierdie funksies oor sekere kontinuïteit-tipe eienskappe beskik, hulle oor die algemeen nié kontinu is nie. Sedertdien het die hoeveelheid literatuur oor die onderwerp geleidelik toegeneem. Sonja het die betreklik onlangse ondersoek na spektrale kontinuïteit in geordende Banach-algebras van stapel gestuur, waartydens sy ’n interessante objek ontdek het wat sy die topologiese randspektrum noem. Hierdie spektrum blyk bruikbaar te wees in die studie van spektrale kontinuïteit in GBA’s en toon dat hoewel die spektraalradiusfunksie by baie elemente nié kontinu is nie, sy beperking tot die keël van positiewe elemente wél oor hierdie eienskap beskik. Die studie van die topologiese randspektrum het boonop tot die ontdekking van ’n onverwagte skakel tussen hierdie spektrum en ’n ander belangrike spektrum, die eksponensiële spektrum, gelei. Die beperkte topologie is in hierdie ontwikkeling gedefinieer en toegepas.

’n Verdere hoogtepunt van Sonja se navorsing was die ontwikkeling van die sogenaamde r-Fredholmteorie in Banach-algebras, wat tot ’n veralgemening van Harte se beroemde stelling gelei en ’n aantal toepassings in GBA’s opgelewer het. Sy het ook toepassings van Aupetit se Skaarsheidstelling en Alekhno se nie-reduseerbaarheidsteorie in GBA’s ontwikkel. In haar intreerede wei sy uit oor hierdie aspekte van haar navorsing oor spektraalteorie in Banach-algebras en in GBA’s.

Kyk die intreerede hier

Kort biografie

Nadat sy aanvanklik gesukkel het om tussen Wiskunde en Musiek te kies, het Sonja Mouton (née Rode) aan die voormalige Universiteit van die Oranje-Vrystaat (UOVS) begin studeer, waar sy in 1994 haar PhD in Wiskunde behaal het. Gedurende hierdie tyd én vir ’n wyle daarna het sy eers by die voormalige Vrystaat Technikon en later by die UOVS in Wiskunde klas gegee, totdat sy in 1995 as ’n dosent by die Universiteit Stellenbosch (US) aangestel is. Dié huidige leier van die Funksionaalanalise-navorsingsgroep in die Afdeling Wiskunde is in 2002 tot senior lektor, in 2012 tot medeprofessor en in 2023 tot professor bevorder. Sonja het al 27 artikels in internasionale vaktydskrifte gepubliseer, waarvan sy ’n aansienlike getal alleen geskryf het, en beskik tans oor ’n C1-gradering van die Nasionale Navorsingstigting. Sy het reeds studieleiding aan vier MSc- en drie PhD-studente verskaf. In 2014 het Sonja die gerekende Workshop on Ordered Banach Algebras in Leiden, Nederland, help reël, waar sy ook ’n drie uur lange oorsiglesing oor spektraalteorie in geordende Banach-algebras aangebied het. Sy is sedertdien al verskeie keer genooi om programredes en hooflesings by nasionale en internasionale konferensies en werksessies aan te bied. Daarby het dié toegewyde dosent in 2003 die Rektor se Toekenning vir Voortreflike Onderrig ontvang. Sonja is getroud met Toit Mouton, ’n professor in die US se Departement Elektriese en Elektroniese Ingenieurswese, en het ʼn passie vir die versorging van diere, veral marmotjies.

RSVP HIER