Die Skolem-landskap

Volgens die welbekende Skolem-Mahler-Lech-stelling is die stel nulle van ’n lineêre rekursiery die vereniging van ’n eindige versameling en ’n eindige getal rekenkundige reekse. Die ooreenstemmende berekeningsvraagstuk, die Skolem-probleem, handel op sy beurt daaroor of ’n gegewe lineêre rekursiery ’n nulterm het. Hoewel die Skolem-Mahler-Lech-stelling bykans 90 jaar oud is, is die Skolem-probleem steeds onbeslisbaar. Prof Florian Luca begin sy intreerede deur klassieke resultate met hierdie probleem voor te lê, en bespreek daarna twee onlangse bydraes wat hy en sy mede-outeurs in dié verband gelewer het. Die eerste is ’n algoritme om die Skolem-probleem vir enkelvoudige lineêre rekursierye (dié met enkelvoudige eiewaardes) op te los. Wanneer ook al die algoritme eindig, skep dit ’n losstaande sertifikaat wat bevestig dat die uitset korrek is – ’n versameling nulle saam met ’n aantal bewysstukke dat daar geen verdere nulle bestaan nie. Die algoritme eindig altyd met die aanname van twee klassieke getalteoretiese vermoedens. Toe die algoritme in ’n voorlopige proefneming met behulp van die SKOLEM-instrument geïmplementeer is, het die resultate op die praktiese toepaslikheid van die metode gedui. Die tweede bydrae is die gedagte van ’n universele Skolem-versameling, naamlik ’n deelversameling van die positiewe heelgetalle waarop die Skolem beslis kan word, ongeag lineêre rekursie. Prof Luca bied twee voorbeelde van sulke versamelings. Een daarvan het ’n positiewe digtheid (bestaan uit ’n positiewe proporsie van ál die positiewe heelgetalle) en dalk selfs ’n digtheid van 1.

Kyk die intreerede hier

Kort biografie

Florian Luca is ’n professor in Wiskunde aan die Universiteit Stellenbosch (US). Voordat hy hom in 2024 by die US aangesluit het, was hy ’n uitgelese navorsingsprofessor aan Wits-universiteit. Hy het al verskeie poste in die buiteland beklee, waaronder by die Universiteit van Syracuse (Verenigde State), die Universiteit van Bielefeld (Duitsland), die Tsjeggiese Akademie vir Wetenskappe, en die Nasionale Outonome Universiteit van Meksiko. Hy het in 1996 ’n PhD in Wiskunde aan die Universiteit van Alaska Fairbanks verwerf.

Prof Luca spesialiseer in getalleteorie met die klem op Diofantiese vergelykings, lineêre rekursies en die verdeling van rekenkundige funksiewaardes. Hy het al merkwaardige bydraes gelewer, veral om te bewys dat irrasionele outomatiese getalle transendent is, en die bewys van ’n vermoede van Erdos op die snyding van Euler se geheelfunksie (totient function) en die som-van-delers-funksie. Hy het reeds meer as 800 navorsingspublikasies saam met oor die 350 mede-outeurs die lig laat sien. Hy is tans ’n hoofnavorser in die navorsingsprojek DynAMiCs (2025-2031), wat deur die Europese Navorsingsraad gefinansier word. Die oogmerk van dié projek, wat saam met kollegas van die Max Planck-vereniging en die Franse Nasionale Sentrum vir Wetenskaplike Navorsing (CNRS) uitgevoer word, is om navorsing te bevorder wat die dissiplines van Wiskunde en Rekenaarwetenskap kombineer om vordering te maak met moeilike oop probleme op albei hierdie terreine.

Ter erkenning van sy werk het prof Luca al etlike internasionale toekennings ontvang, soos ’n Alexander von Humboldt-genootskap (Duitsland) in 1998, ’n Guggenheim-genootskap (Verenigde State) in 2005, en ’n CNRS-ambassadeursgenootskap (Frankryk) in 2024. Op tuisbodem is hy ’n lid van sowel die Afrika- as die Suid-Afrikaanse Wetenskapsakademie (AAS en ASSAf) en het hy al twee keer (2016 en 2022) ’n A-gradering van die Nasionale Navorsingstigting ontvang.